【数学Ⅰ】計算法則（交換・結合・分配）を解説｜基礎を理解するための例題付きガイド

数学の計算問題を解いているとき、「あれ？ どこで間違えたんだろう？」と悩んだ経験はありませんか？

実は、そんな計算ミスの多くは、基本的な「計算法則」の理解不足が原因です。

この記事では、高校数学の基礎となる交換法則・結合法則・分配法則について、わかりやすく解説していきます。

それぞれの法則の意味や使い方を、具体例とともに丁寧に説明しているので、初めて学ぶ人でも安心です。

さらに、理解を深めるための練習問題（解説付き）も用意しています。

記事を読み終えるころには、計算のルールが自然と身につき、数学の問題がグッと解きやすくなるはず！

計算法則とは？

数学における計算法則とは、数式を計算するときに必ず成り立つ計算のルールのことです。これらの法則を理解しておくことで、計算ミスを防いだり、式の変形・整理をよりスムーズに行ったりすることができます。

高校数学でよく登場する計算法則には、次の3つがあります。

なぜ計算法則を学ぶのか？

これらの法則は、数式を簡単にする（展開・因数分解）ときや、方程式を解くときに必要不可欠です。
特に高校数学では、式を「どのように変形できるか」が問題の鍵になることが多いため、これらの法則を正しく使えるようにしておくことが大切です。

交換法則について

交換法則とは、演算を行う順序（項の並び順）を入れ替えても、結果が変わらないという法則である。これは加法および乗法において成り立つ。

加法における交換法則

任意の実数\(A,B\)に対して、

\(A+B=B+A\)

が常に成り立つ。

【例】\(3+5=5+3=8\)

このように、加える順番を入れ替えても和（答え）は変わらない。

乗法における交換法則

任意の実数\(A,B\)に対して、

\(AB=BA\)

が常に成り立つ。

【例】\(4×6=6×4=24\)

こちらも、かける順番を変えても積（答え）は同じである。

結合法則

結合法則とは、複数の数を計算するときに、演算の順序（かっこの位置）を変えても、結果が変わらないという法則である。この法則もまた、加法および乗法において成り立つ。

加法における結合法則

任意の実数\(A,B,C\)に対して、

\((A+B)+C=A+(B+C)\)

が常に成り立つ。

【例】
\((2+3)+4=5+4=9\)
\(2+(3+4)=2+7=9\)

よって、

\((2+3)+4=2+(3+4)\)

となり、かっこの位置を変えても和は変わらない。

乗法における結合法則

任意の実数\(A,B,C\)に対して、

\((AB)C=A(BC)\)

が常に成り立つ。

【例】
\((2×3)×5=6×5=30\)
\(2×(3×5)=2×15=30\)

したがって、

\((2×3)×5=2×(3×5)\)

が成立する。

分配法則

分配法則とは、ある数に対して掛け算を分配して、加法または減法を行うという法則である。特に、乗算が加算や減算に分配されるとき成り立つ。

加法に対する分配法則

任意の実数\(A,B,C\)に対して、

\(A(B+C)=AB+AC\)

が常に成り立つ。

【例】
\(3×(4+5)=3×4+3×5=12+15=27\)

減法に対する分配法則

任意の実数\(A,B,C\)に対して、

\(A(B-C)=AB-AC\)

が常に成り立つ。

【例】
\(4×(6−2)=4×6−4×2=24−8=16\)

練習問題（解説付き）

【回答】※解説付き

①　問：\(2A+B\)を求めなさい。　答え：\(8x+9\)
解説：まず A, B を代入して式に当てはめます。

\(2A+B=2(3x+5)+(2x−1)\)
\(=6x+10+2x−1\)　[分配法則]
\(=6x+2x+10−1\)　[交換法則]
\(=(6+2)x+(10−1)\)　[分配法則]
\(=8x+9\)

②　問：\(2A−B\)を求めなさい。　答え：\(4x+11\)
解説：まず A, B を代入して式に当てはめます。

\(2A−B=2(3x+5)−(2x−1)\)
\(=6x+10−2x+1\)　[分配法則]
\(=(6x−2x)+(10+1)\)　[交換法則]
\(=(6−2)x+(10+1)\)　[分配法則]
\(=4x+11\)

③　問：\(4A−3B+2\)を求めなさい。　答え：\(6x+25\)
解説：まず A, B を代入して式に当てはめます。

\(=4(3x+5)−3(2x−1)+2\)
\(=12x+20−6x+3+2\)
\(=(12x−6x)+(20+3+2)\)
\(=6x+25\)

④　問：\(5(A−B)+3B\)を求めなさい。　答え：\(11x+27\)
解説：まず\(A−B\)を計算し、A, B を代入して式に当てはめます。

\(A−B=(3x+5)−(2x−1)\)
\(=3x+5−2x+1\)
\(=x+6\)
\(=5(A−B)+3B=5(x+6)+3(2x−1)\)
\(=5x+30+6x−3\)
\(=(5x+6x)+(30−3)\)
\(=11x+27\)

まとめ

今回の記事では、数学における基本的な計算法則について学びました。

計算をスムーズに進めるために欠かせない交換法則、結合法則、分配法則を理解することで、複雑な数式の変形や整理が楽になります。

これらの法則は、特に式の展開や因数分解、方程式の解法において非常に重要な役割を果たします。

加法や乗法の順序を入れ替えるだけで、計算が簡単になる感覚を実感し、問題解決の効率が大幅に向上することでしょう。

さらに、記事内で紹介した練習問題に取り組むことで、実際の問題にどう適用するかを確認し、理解度を深めることができます。

計算ミスを減らし、数学の応用力を高めるためには、これらの法則をしっかりと身につけることが大切です。

これから学ぶ数学の内容でも、これらの計算法則は必ず役立つので、しっかりと理解しておきましょう！